#50常識集_Dirac_delta_function

#50常識集_Dirac_delta_function

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基本介紹

今天要介紹的是一個特殊函數(special function)叫做Dirac delta function。這在量子力學、 信號處理、生物統計、或是任何需要解線性微分方程組的地方都可能會用到它。我們會先讓大家看看這孩子的長相，再來看他怎麼變出來的，接著看我們為什麼需要他，最後簡單介紹一下性質。

我們先來看看它的定義：

 

畫起來大概會長成這樣子：

 而他的積分則是鼎鼎大名的Heaviside step function：

 

畫起來則是長這樣子：

 應該蠻容易理解的。因為在x<x0時delta function值都是0，從-inf積分到x結果也是0。因為delta(x)只在x0有非零的值且積分為1，所以x>x0時從-inf積分到x結果就跳成1。

這詭異的性質到底是哪來的？

相信到這裡對初次見面的人來說應該很困惑，為什麼一個只在x=x0的地方有值的函數可以積分起來是1？因為delta function與其想成是一個函數，不如把它當作是一個分布(distribution)，而這個分布其實是其他我們比較熟悉的分布取極限之後變成的。這些取極限之後可以變成delta function的東西我們稱為delta sequence。delta sequence有無限多種，我們來看看其中一種──normal distribution：

 

上面這個函數從-inf積分到inf結果是1。我們來看看當x0=0, n從1→10→100→1000會長甚麼樣子：

  心血來潮做個小小的影片：看n從1到5000的變化：

所以從這裡我們可以看出來，delta function可以看成是一個標準差非常非常非常小的高斯分布。這也就說明為什麼他只在x=x0有值，積分又為1。如果某個東西的位置可以表示成delta(x-x0)，那就表示我們非常確定他的位置一定在x=x0，沒有任何uncertainty。

為什麼需要Delta function???

Delta function實際上在解很多物理問題的時候會自然而然冒出來。比方說我們想探討一滴墨水從一個點開始擴散的時候，Initial condition就會是一個delta function。我們想探討一個單一的衝擊(impulse)對材料的影響的時候，initial condition也會是一個delta function。或者是說，如果我們要解一個線性微分方程組，他的initial condition或是boundary condition是一個奇形怪狀的東西如：(沒有廣告嫌疑)

因為統御方程式是線性的，所以我們可以先算出來單一一個點(delta function)輸入微分方程式之後所產生的效果是甚麼(這個東西我們稱為Green's function)，然後我們再把奇形怪狀的東西拆成很多點，把他們的效果全部加起來(就是把Green's function對boundary condition做積分的意思)。

重要的性質

Dirac delta function重要的性質族繁不及備載，在這裡我們簡單mention三個：
1.

 

這應該蠻容易理解的，因為delta function只在x=x0有值嘛。

2. Integral representation

 

其實就是傅立葉轉換之後再反轉換回來會得到自己而已。不過第二條方程式非常常用。

3. 這個對多數人來說應該都很陌生：(積分都是從0 ~ inf)

  

我們先來看看對x_n來說好了。如果1-x1-x2-...-x_(n-1)<0，則就積分值域0~inf而言，1-x1-x2-...-xn永遠不會有=0的時候，因此積分結果一定會是0。所以上面的積分式其實可以改寫成：

 

就是在積分一個高維度錐體的體積的意思。

這樣可能有點難理解，如果我們把他降成低維度可能就容易想像：

所以由數學歸納法我們就可以知道一個(n-1)維的錐體體積是1/(n-1)!啦~。

Dirac delta function真的很重要喔，以後我們會再碰到他的，今天就先這樣啦!