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#45常識集_彈性動脈中的血流_下



#45常識集_彈性動脈中的血流_
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簡短回顧

在上一集中我們已經提過,假設彈性動脈中的壓力梯度是一個正弦函數
  
則他對應的流場會是:

兩者相位相差pi/2。其中的參數alpha是Womersley number。他的定義為
他反映的是系統的慣性力和黏滯力的比值。
我們先回顧一下算到這裡是所謂何來。WBE scaling law的基本精神是,要能計算出物理系統的能量耗損。只要我們能夠定量能量耗損與系統相關參數之間的關係,如系統的能量耗損如何受到大動脈與分支動脈的管徑比的影響,我們就可以利用Lagrange multiplier求出最小化能量耗損的管徑比。要求得血液在血管中流動的能量耗損,我們就必須利用流體力學版本的歐姆定律:P=QZ。我們現在已知的只有流場和壓力,因此我們下一步就要求出流量Q和阻抗Z,就能明確寫出每一段動脈的能量耗損。最後我們會討論彈性動脈的反射波效應。

體積流量Q&阻抗Z

要從流場u求出體積流量Q概念上非常容易,因為流場就是每一點的流速,所以體積流量就能寫成:
這一步積分比較困難,有興趣的讀者請參閱補充講解。我們獲得了流量Q的表達式,但這表達式裡面有Bessel function,解讀上比較困難,因此我們會想知道,當alpha→0和alpha→inf的時候分別可以得到甚麼漸進結果。注意到從alpha的定義,這其實就分別是在探討小管徑和大管徑的情形。小管徑近似比較簡單,從Bessel function的級數展開形式我們就知道,當alpha→0時只需保留第一項,我們就得到:
 
所以代回去體積流量的表達式,我們得到在小管徑近似下,體積流量為:
 大管徑近中,Bessel function如何化簡會需要用到複變的知識,為了避免失焦請有興趣讀者自行探討。這裡只把結果寫出來:
 
因此我們就可以得到,假設血管長為l,在大血管近似和小血管近似下的阻抗為:
 
 我們發現,在大血管近似下,阻抗和半徑的平方成反比,而在小血管近似下,阻抗的大小和肌肉型動脈的阻抗一模一樣,都是與半徑的四次方反比。但是體積流量的相位和壓力波的相位是反向的。還有很重要的一點是,大血管的阻抗表示裡面沒有黏滯係數,卻和壓力波的頻率有關,這表示大血管和小血管中能量耗散的主要方式並不相同。那究竟大血管裡能量耗散的主要方式是甚麼呢?就是我們接下來要講的反射波效應。

反射波效應

 波動在介質交界處發生反射。我們假設從第k級動脈分支到第k+1級動脈時,壓力波動可以被分成入射波(incident)、反射波(reflected)、透射波(transmitted)三者三個波動的壓力可以被表示成

 
由於壓力是連續的,因此在k級分支到第k+1級動脈的地方壓力是相同的,所以:

 
再加上流量守恆,我們可以寫出:

 
簡單代換一下就可得到
最後得到:
   
我們因此知道,要讓能量消耗最小,我們最好能消除所有的反射波,此時第k級和第k+1級動脈的阻抗比要等於1/n。再加上大血管近似下阻抗與半徑平方成反比的結果,我們就知道對大血管而言,第k級和第k+1級的半徑比正比於n^(-1/2)。這和我們#40WBE_Scaling_Law_中一
https://goo.gl/Oq7vMn
  用面積守恆來得到的結論是相同的。

反射波是彈性動脈波傳遞的重要現象,也是解釋動脈硬化和高血壓關聯的重要理論,現在也有非常多實際應用在臨床上。也許之後會有機會再和各位讀者討論。
 
/*-------------補充講解-------------*/
在求出體積流量的積分中我們需要用到兩個重要的關係式:
(讀者可能需要回頭看#43常識集_Bessel_Function_下 https://goo.gl/uLTxd8 )

 


這兩個關係式都可以用Bessel function的generating function證明出來。


兩個關係式的證明就留給讀者自己練習。利用第一個關係來完成體積流量的積分之後,再利用第二個關係式就可以把J0(x) & J1(x)替換成J2(x)。
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參考文章:
Womersley J. R. (1955). Method for the calculation of velocity, rate of flow, and viscous drag in arteries when pressure gradient is known. J. Physiol. 127:553-563.

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