#45常識集_彈性動脈中的血流

#45常識集_彈性動脈中的血流_下

/*-------------分隔線-------------*/

簡短回顧

在上一集中我們已經提過，假設彈性動脈中的壓力梯度是一個正弦函數

$\frac{\partial p}{\partial z}=p_0 e^{i\omega_0t}$

則他對應的流場會是：

$u(r,t)=\frac{ip_0}{\omega_0 \rho}[1-\frac{J_0(i^{3/2}\alpha \frac{r}{R})}{J_0(i^{3/2}\alpha)}]e^{i\omega_0t}$

兩者相位相差pi/2。其中的參數alpha是Womersley number。他的定義為

$\alpha = \sqrt{\frac{\omega_0\rho R^2}{\eta}}$

他反映的是系統的慣性力和黏滯力的比值。

我們先回顧一下算到這裡是所謂何來。WBE scaling law的基本精神是，要能計算出物理系統的能量耗損。只要我們能夠定量能量耗損與系統相關參數之間的關係，如系統的能量耗損如何受到大動脈與分支動脈的管徑比的影響，我們就可以利用Lagrange multiplier求出最小化能量耗損的管徑比。要求得血液在血管中流動的能量耗損，我們就必須利用流體力學版本的歐姆定律：P=QZ。我們現在已知的只有流場和壓力，因此我們下一步就要求出流量Q和阻抗Z，就能明確寫出每一段動脈的能量耗損。最後我們會討論彈性動脈的反射波效應。

體積流量Q&阻抗Z

要從流場u求出體積流量Q概念上非常容易，因為流場就是每一點的流速，所以體積流量就能寫成：

$Q = \int_{0}^{R}(2\pi r)u(r,t)dr=-i\frac{\pi p_0R^4}{\mu}\frac{e^{i\omega_0 t}J_2(i^{3/2}\alpha)}{\alpha^2J_0(i^{3/2}\alpha)}$

這一步積分比較困難，有興趣的讀者請參閱補充講解。我們獲得了流量Q的表達式，但這表達式裡面有Bessel function，解讀上比較困難，因此我們會想知道，當alpha→0和alpha→inf的時候分別可以得到甚麼漸進結果。注意到從alpha的定義，這其實就分別是在探討小管徑和大管徑的情形。小管徑近似比較簡單，從Bessel function的級數展開形式我們就知道，當alpha→0時只需保留第一項，我們就得到：

$\begin{matrix} J_2(i^{3/2}\alpha)=\frac{1}{2}(\frac{i^{3/2}\alpha}{2})^2=-\frac{i\alpha^2}{8}\\ \\ J_0(i^{3/2}\alpha)=(\frac{i^{3/2}\alpha}{2})^0=1 \end{matrix}$

所以代回去體積流量的表達式，我們得到在小管徑近似下，體積流量為：

$Q = \frac{-\pi p_0R^4}{8\eta}e^{i\omega_0 t}\ \ \ \ \ \ R\ll \sqrt{\frac{\eta}{\omega_0\rho}}$

大管徑近似中，Bessel function如何化簡會需要用到複變的知識，為了避免失焦請有興趣讀者自行探討。這裡只把結果寫出來：

$J_{n}(x)\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi z}}e^{i(z-n\pi/2-pi/4)}$

$Q = \frac{\pi p_0R^2}{\omega_0\rho}e^{i(\omega_0 t+\pi/2)}\ \ \ \ \ \ R\gg \sqrt{\frac{\eta}{\omega_0\rho}}$

因此我們就可以得到，假設血管長為l，在大血管近似和小血管近似下的阻抗為：

$\begin{matrix} \left | Z \right | = \frac{8\eta l}{\pi R^4}\ \ \ \ \ \ R\ll \sqrt{\frac{\eta}{\omega_0\rho}} \\ \left | Z \right | = \frac{\omega_0\rho l}{\pi R^2}\ \ \ \ \ \ R\gg \sqrt{\frac{\eta}{\omega_0\rho}} \end{matrix}$

我們發現，在大血管近似下，阻抗和半徑的平方成反比，而在小血管近似下，阻抗的大小和肌肉型動脈的阻抗一模一樣，都是與半徑的四次方成反比。但是體積流量的相位和壓力波的相位是反向的。還有很重要的一點是，大血管的阻抗表示裡面沒有黏滯係數，卻和壓力波的頻率有關，這表示大血管和小血管中能量耗散的主要方式並不相同。那究竟大血管裡能量耗散的主要方式是甚麼呢？就是我們接下來要講的反射波效應。

反射波效應

波動在介質交界處發生反射。我們假設從第k級動脈分支到第k+1級動脈時，壓力波動可以被分成入射波(incident)、反射波(reflected)、透射波(transmitted)三者。三個波動的壓力可以被表示成

$\begin{matrix} p_k^i=\left | Q_k^i \right |Z_k \\ p_k^t=\left | Q_{k}^t \right |Z_{k+1} \\ p_k^r=\left | Q_{k}^r \right |Z_{k} \end{matrix}$

由於壓力是連續的，因此在第k級分支到第k+1級動脈的地方壓力是相同的，所以：

$p_k^i+p_k^r=p_k^t$

再加上流量守恆，我們可以寫出：

$\left | Q_k^i \right | -\left | Q_{k}^r \right |=n\left | Q_{k}^t \right |$

簡單代換一下就可得到

$p_k^i-p_k^r=\frac{nZ_k}{Z_{k+1}}p_k^t$

最後得到：

$2p_k^i=(1+\frac{nZ_k}{Z_{k+1}})p_k^t$

$2p_k^r=(1-\frac{nZ_k}{Z_{k+1}})p_k^t=2\frac{1-\frac{nZ_k}{Z_{k+1}}}{1+\frac{nZ_k}{Z_{k+1}}}p_k^i$

我們因此知道，要讓能量消耗最小，我們最好能消除所有的反射波，此時第k級和第k+1級動脈的阻抗比要等於1/n。再加上大血管近似下阻抗與半徑平方成反比的結果，我們就知道對大血管而言，第k級和第k+1級的半徑比正比於n^(-1/2)。這和我們在#40WBE_Scaling_Law_中一
https://goo.gl/Oq7vMn 用面積守恆來得到的結論是相同的。

反射波是彈性動脈波傳遞的重要現象，也是解釋動脈硬化和高血壓關聯的重要理論，現在也有非常多實際應用在臨床上。也許之後會有機會再和各位讀者討論。

/*-------------補充講解-------------*/
在求出體積流量的積分中我們需要用到兩個重要的關係式：
(讀者可能需要回頭看#43常識集_Bessel_Function_下 https://goo.gl/uLTxd8 )

$[x^\nu J_\nu (x)]'=x^\nu J_{\nu-1} (x)$

$J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}J_{\nu}(x)-J_{\nu-1}(x)$
這兩個關係式都可以用Bessel function的generating function證明出來。

$g(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_{n}(x)t^n=e^{\frac{x}{2}(t-\frac{1}{t})}$
兩個關係式的證明就留給讀者自己練習。利用第一個關係式來完成體積流量的積分之後，再利用第二個關係式就可以把J0(x) & J1(x)替換成J2(x)。
/*-------------分隔線-------------*/

參考文章：

Womersley J. R. (1955). Method for the calculation of velocity, rate of flow, and viscous drag in arteries when pressure gradient is known. J. Physiol. 127:553-563.

Three Minute Biophysics

Search This Blog

Featured Post

#77 Brownian Carnot engine-I 微觀卡諾引擎-I