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In this episode we will integrate the formula we left in the previous episode and introduce the concept of impulse response. Knowledge about Dirac delta function is required.
這集我們要把上一集留下來的積分式算出來，並介紹impulse response。因為需要用到delta function的概念，請不熟悉的讀者參考：
#50常識集_Dirac_delta_function https://goo.gl/lTv7CE
還記得上一集的時候我們把通過透明片的光在(x,y,z)處的電場強度表示成不同空間頻率的光的總和(就是不同方向的光的總和)，也就是以傅立葉轉換的方式表達他：
And now we are going to deal with it. We have previously mentioned that kz = (k^2-kx^2-ky^2)^1/2 =2π (1/λ^2 - νx^2 - νy^2)^1/2. Now let:
現在我們要來處置他了。上次講過，kz = (k^2-kx^2-ky^2)^1/2 =2π (1/λ^2 - νx^2 - νy^2)^1/2，如果我們令：
 "\theta^2 = \theta_x^2 + \theta_y^2 = \lambda^2(\nu_x^2+\nu_y^2)")
We post this figure again in case of you might forget:
怕大家忘記，呼叫這張圖給大家recall一下：
Substitute it back and we could express kz as:
把他帶進去我們就可以把kz寫成：
^{1/2} "k_z = \frac{2\pi}{\lambda}(1-\theta^2)^{1/2}")
and we substitute it back to the exponential and do some Taylor expansion:
因此帶回去exponential裡面並且泰勒展開的話：
^{1/2}}=e^{&space;-i\frac{2\pi&space;z}{\lambda}(1-\frac{1}{2}\theta^2+\frac{1}{8}\theta^4-...)} "e^{-ik_zz} =e^{ -i\frac{2\pi z}{\lambda}(1-\theta^2)^{1/2}}=e^{ -i\frac{2\pi z}{\lambda}(1-\frac{1}{2}\theta^2+\frac{1}{8}\theta^4-...)}")
我們希望能夠丟掉1/8 θ^4和他之後的項。在一般的近似裡面只要後項遠小於前項即可，但要注意的是因為這裡1/8 θ^4是在exponential裡面，所以要忽略掉他的條件是：
=\iint_{-\infty}^{\infty}A(\nu_x,&space;\nu_y)e^{-i2\pi(\nu_x&space;x+\nu_y&space;y)}e^{-i2\pi&space;z/\lambda(1-\frac{1}{2}\theta^2)}\textup{d}\nu_x\textup{d}\nu_y&space;\\=e^{-ikz}\iint_{-\infty}^{\infty}A(\nu_x,&space;\nu_y)e^{-i2\pi(\nu_x&space;x+\nu_y&space;y)}e^{i\pi\lambda&space;z(\nu_x^2+\nu_y^2)}\textup{d}\nu_x\textup{d}\nu_y "U(x,y,z)=\iint_{-\infty}^{\infty}A(\nu_x, \nu_y)e^{-i2\pi(\nu_x x+\nu_y y)}e^{-i2\pi z/\lambda(1-\frac{1}{2}\theta^2)}\textup{d}\nu_x\textup{d}\nu_y \\=e^{-ikz}\iint_{-\infty}^{\infty}A(\nu_x, \nu_y)e^{-i2\pi(\nu_x x+\nu_y y)}e^{i\pi\lambda z(\nu_x^2+\nu_y^2)}\textup{d}\nu_x\textup{d}\nu_y")
因此我們假設
=f(x,y)=\delta(x)\delta(y) "U(x,y,0)=f(x,y)=\delta(x)\delta(y)")
=e^{-ikz}\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi(\nu_x&space;x+\nu_y&space;y)}e^{i\pi\lambda&space;z(\nu_x^2+\nu_y^2)}\textup{d}\nu_x\textup{d}\nu_y "U(x,y,z)=e^{-ikz}\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi(\nu_x x+\nu_y y)}e^{i\pi\lambda z(\nu_x^2+\nu_y^2)}\textup{d}\nu_x\textup{d}\nu_y")
=e^{-ikz}\sqrt{\frac{\pi}{-i\pi\lambda&space;z}}e^{\frac{4\pi^2x^2}{4i\pi\lambda&space;z}}\sqrt{\frac{\pi}{-i\pi\lambda&space;z}}e^{\frac{4\pi^2y^2}{4i\pi\lambda&space;z}}=\frac{i}{\lambda&space;z}e^{-ikz}e^{\frac{-i\pi}{\lambda}\frac{x^2+y^2}{z}} "U(x,y,z)=e^{-ikz}\sqrt{\frac{\pi}{-i\pi\lambda z}}e^{\frac{4\pi^2x^2}{4i\pi\lambda z}}\sqrt{\frac{\pi}{-i\pi\lambda z}}e^{\frac{4\pi^2y^2}{4i\pi\lambda z}}=\frac{i}{\lambda z}e^{-ikz}e^{\frac{-i\pi}{\lambda}\frac{x^2+y^2}{z}}")
這集我們要把上一集留下來的積分式算出來，並介紹impulse response。因為需要用到delta function的概念，請不熟悉的讀者參考：
#50常識集_Dirac_delta_function https://goo.gl/lTv7CE
Fresnel approximation 菲涅耳近似
Recall that we expressed the electric field in (x, y, z) of a light passing through a transparent in terms of the summation of light with various spatial frequencies, or the Fourier transform of the transparent:還記得上一集的時候我們把通過透明片的光在(x,y,z)處的電場強度表示成不同空間頻率的光的總和(就是不同方向的光的總和)，也就是以傅立葉轉換的方式表達他：
現在我們要來處置他了。上次講過，kz = (k^2-kx^2-ky^2)^1/2 =2π (1/λ^2 - νx^2 - νy^2)^1/2，如果我們令：
怕大家忘記，呼叫這張圖給大家recall一下：
把他帶進去我們就可以把kz寫成：
因此帶回去exponential裡面並且泰勒展開的話：
我們希望能夠丟掉1/8 θ^4和他之後的項。在一般的近似裡面只要後項遠小於前項即可，但要注意的是因為這裡1/8 θ^4是在exponential裡面，所以要忽略掉他的條件是：
這個近似就叫做菲涅耳近似(Fresnel approximation)。經過Fresnel approximation之後我們就可以把U(x,y,z)寫成：
一般情況下我們需要用數值計算來完成上面的積分。
脈衝響應(impulse response)
除了剛剛說我們可以把通過透明片的影像想成是很多不同方向的光的總和之外，我們也可以換回我們一開始所說的，把透明片上的每一點當成新的點波源，看點波源發出的光的總和。點波源用數學來表示就是一個delta function。因此我們假設
他的傅立葉轉換是一個常數，也就是說A(νx, νy) = constant，把他帶入剛剛Fresnel approximation的結果：
要積分他我們需要用到高斯積分：
把x & y的部分分別處置，我們就可以寫出
我們就可以看出來他會是一個球面波。我們把上式定義為h(x,y,z)，就是單一delta function在近軸的(x,y,z)處產生的貢獻。
再下一集我們就會讓夫朗和斐繞射登場囉> <!!
再下一集我們就會讓夫朗和斐繞射登場囉> <!!
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