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#56常識集_夫朗和斐繞射_下

小回顧

經過這麼多集終於來到夫朗和斐繞射了。回顧一下前面所做的,我們先把通過透明片的光傳遞出來的影像想像成是來自各種不同方向的光的總和,而要完成這件事情需要傅立葉轉換。接著我們把delta function代入Fresnel approximation的結果,得到了impulse response。現在我們要做的事情就是,把每一點的貢獻全部加起來。感覺就像下面這樣子:
每個cone是一個點波源的impulse response,我們看到的結果就是不同點的impulse response彼此干涉最後產生的結果。

夫朗和斐近似(Fraunhofer approximation)

所以我們就來加一加,這其實不會很困難,就是積分而已:
把括弧展開一下

這裡因為我們是對x' & y'積分,所以最後一項exp(~(x'^2+y'^2))就會變得很討厭,因此我們在這裡要做Fraunhofer近似,把那個項丟掉。和前面Fresnel approximation的邏輯很像,要能做Fraunhofer approximation的條件是

這相當於要求z→inf,因此Fraunhofer approximation又叫做遠場近似。經過這一步後我們可以寫出:
 
而後面那個積分其實就是在對f(x',y')做傅立葉轉換。也就是說,在遠場看到的圖像會是原圖像的傅立葉轉換。 

傅立葉轉換後會長甚麼樣子?

所以我們就來看看咱們的logo經過Fourier transform會是如何吧!
使用MATLAB code
I0 = imread('biophysics.png');
I0=rgb2gray(I0);
I0=255-I0;
Y = fft2(I0);
Z = fftshift(Y);
I3 = mat2gray(log(Z.*conj(Z)+1));
figure, imshow(I3);
登登~~中央是低頻區,表示整體明暗分布;外圍是高頻區,強調邊界的部分。這張圖是光強度取log之後的結果,如果用實際光強度來畫的話會是一片漆黑。

下一集我們會來看看,如果中央的transparency是一個Gaussian distribution的話,經過Fraunhofer diffraction會變成甚麼呢?我們會發現他就是一個Gaussian beam。

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